Compreendendo o infinito e suas implicações teológicas

A matemática e o infinito (Imagem gerada por IA - ZetaErik em NightCafé Studio)

por Jeff Zweerink
11 de agosto de 2023

O poderoso Aquiles e uma tartaruga concordam em uma corrida de 100 metros. Para tornar as coisas justas, Aquiles dá à tartaruga uma vantagem de 50 metros. Quando o tiro de partida dispara, Aquiles e a tartaruga dirigem-se para a linha de chegada. Alguém poderia pensar que Aquiles vence facilmente – mas não tire uma conclusão tão precipitada. Antes de poder ultrapassar a tartaruga, Aquiles deve primeiro cobrir a separação de 50 metros. Entretanto, nesse período, a tartaruga terá percorrido alguma distância na pista. Aquiles agora deve percorrer essa distância para ultrapassar a tartaruga, mas, mais uma vez, a tartaruga se moverá mais longe em direção à linha de chegada. E Aquiles deve percorrer essa distância antes de passar. . . . O mesmo acontece com o paradoxo de Zenão e minha primeira lembrança de ter encontrado a ideia de infinito.

O infinito é mais do que um mistério matemático a ser resolvido. Ele pode nos ajudar a entender a visão cristã da natureza de Deus.

Cobrindo “Meias Distâncias” Infinitas

No ensino médio, li Gödel, Escher, Bach - Laços Eternos, de Douglas Hofstadter, obra em que ele introduz o infinito usando o paradoxo de Zenão. O filósofo grego Zenão (século V a.C.) usou o paradoxo para argumentar que o movimento era uma ilusão que pode se tornar mais aparente ao reformular o paradoxo. Para que Aquiles ou a tartaruga percorram a distância até a linha de chegada, eles devem primeiro percorrer metade da distância, mas isso requer mover metade dessa distância, o que requer cobrir metade dessa distância . . . e assim por diante. Cada uma dessas “meias distâncias” representa um passo que Aquiles ou a tartaruga devem dar para se mover, mas há um número infinito de “meias distâncias” que eles devem dar para se moverem. Como um número infinito de passos não pode acontecer, nem Aquiles nem a tartaruga conseguem sair da linha de partida.

A discussão de Hofstadter sobre o infinito ficou na minha mente. Na verdade, durante uma aula de matemática no meu último ano, escolhi o tópico do infinito para meu projeto de pesquisa. Durante minha pesquisa, descobri rapidamente que o tópico do infinito é muito mais complexo do que algo ser grande demais para ser contado e, mais importante, que quantidades infinitas se comportam de forma muito diferente das finitas.

Atualmente, meu interesse pelo infinito está relacionado a tópicos filosóficos (podem existir infinitos reais?), questões matemáticas (todos os infinitos são iguais?) e questões teológicas (Deus é um infinito real?), bem como a forma como a maioria dos cientistas aborda o infinito. Antes de abordar esses tópicos e o paradoxo de Zenão com mais detalhes, fornecerei algumas informações básicas sobre o infinito.

Infinito: Uma Definição Básica

Uma definição rápida de dicionário provavelmente corresponde a como a maioria das pessoas definiria infinito — ilimitado ou infinito em espaço, extensão ou tamanho. As palavras ilimitado, sem limite, incontável ou sem fim servem como sinônimos para infinito. Ao usar essas palavras, devemos sempre lembrar de uma distinção importante. Infinito ou seus sinônimos não significam simplesmente que está além da nossa capacidade de realmente contar, mas sim que é impossível contar todos os membros. Essa distinção destaca uma diferença importante entre dois tipos de números.

As pessoas usam rotineiramente dois tipos de números, cardinais e ordinais. Um número cardinal descreve o número de elementos em um conjunto. Você pode ter 5 maçãs na sua bolsa, 2 carros na sua garagem, 352 bonecos de ação na sua parede ou 1 peixe enorme que escapou. Os números cardinais fornecem uma maneira de caracterizar o tamanho de um conjunto. Os números ordinais dão a ordenação de um membro. Quarta-feira é o terceiro dia da semana de trabalho, sou o segundo filho dos meus pais e Connecticut ou Dakota do Norte serão o 49º estado que visitarei. Para conjuntos finitos, os números cardinais e os números ordinais têm pouca distinção. Um saco de 5 maçãs sempre terá uma quinta maçã, mas não uma sexta maçã. Em outras palavras, tamanho e ordem são amplamente intercambiáveis para conjuntos finitos.

Para conjuntos infinitos, porém, tamanho e ordem se tornam bastante distintos. Enquanto o número de elementos determina a cardinalidade (ou tamanho) e o maior ordinal de um conjunto finito, um conjunto infinito não tem maior ordinal ou maior número de elementos. Contudo, conjuntos infinitos ainda têm um tamanho distinto. O conjunto de números naturais (1, 2, 3, 4… e, às vezes, incluindo zero) é o "menor" conjunto infinito. É pequeno no sentido de que consiste apenas em inteiros positivos e não em todos os valores decimais entre esses números inteiros. Como deve ser evidente, este conjunto infinito não tem o maior valor, nem um último elemento. No entanto, podemos falar sobre a cardinalidade deste conjunto que os matemáticos definem como χ0* (pronuncia-se "alef nulo"). Da mesma forma, os matemáticos definem ω (a letra grega ômega minúsculo) como o conjunto de todos os ordinais finitos. Assim, o primeiro ordinal além dos números naturais é ω+1.

* N. do R. T.: A letra usada é, de fato, a letra hebraica alef (א). Contudo, em razão de não conseguir fazer aqui a representação adequada da simbologia, que consiste nela seguida de um número, optou-se por trocá-la pela letra grega χ (qui).

Diferentes Infinitos

Conjuntos finitos possuem facilmente cardinalidades diferentes, mas pode parecer que todos os infinitos têm a mesma cardinalidade. Todavia, esse não é o caso. Por exemplo, considere os números naturais comparados aos números reais. O conjunto dos números naturais inclui todos os inteiros positivos e é um conjunto infinito. Entretanto, os números reais incluem todos os números inteiros positivos (e negativos), bem como todos os números decimais entre os números inteiros. Uma maneira simples de pensar sobre isso reconhece que entre cada número inteiro existe um número infinito de números reais. Por exemplo, há um número infinito de decimais entre 1 e 2. Embora a descrição formal inclua uma linguagem mais precisa, o resultado líquido é que a cardinalidade dos números reais é maior do que a cardinalidade dos números naturais. Para usar os símbolos adequados, a cardinalidade dos números naturais é χ0. onde a cardinalidade dos números reais χ1. Dito de outra forma, o tamanho do conjunto dos números reais é maior que o tamanho do conjunto dos números naturais. Matematicamente falando, não existe um conjunto infinito “maior”, então para cada número natural a, existe um conjunto correspondente com cardinalidade χa e ordinal ωa.

Aqui vai um último ponto sobre infinitos diferentes. Qualquer conjunto infinito com cardinalidade, χ0 é chamado de infinito contável, pois cada membro do conjunto pode ser colocado em uma correspondência um-para-um com os números naturais. Qualquer conjunto infinito que não pode ser colocado em tal correspondência um-para-um é chamado de infinito incontável, e seu nível de incontável está intimamente relacionado ao seu número cardinal. Alguém pode estar interessado em um exemplo, mas os únicos exemplos potencialmente úteis são matemáticos porque nossa finitude significa que não experimentamos verdadeiramente conjuntos infinitos. Com essa ressalva, o conjunto de números naturais tem cardinalidade χ0. O conjunto de números reais tem cardinalidade χ1. (Tecnicamente, os números reais têm a cardinalidade do contínuo, mas há razões para pensar que isso é o mesmo que χ1.) O conjunto de todos os conjuntos de números naturais ({0},{1},{2}…{0,1},{0,2},{0,3}…{1,2},{1,3}…{0,1,2}…) tem cardinalidade χ2.

Diferenças entre Infinitos e Finitos

Essas descrições enfatizam as similaridades de linguagem usadas ao falar sobre conjuntos infinitos e finitos, mas você pode ter percebido que os dois tipos de conjuntos se comportam de forma diferente. Para conjuntos finitos, entendemos intuitivamente como adicionar, subtrair, multiplicar e dividir conjuntos e temos uma "teoria dos conjuntos" bem desenvolvida lidando com todas essas operações. Da mesma forma, com conjuntos infinitos, também temos uma teoria dos conjuntos bem desenvolvida, mas essas operações familiares divergem da nossa intuição. 

Por exemplo, ao adicionar conjuntos finitos diferentes de zero (como uma cesta de 5 maçãs a uma cesta de 3 maçãs), o conjunto resultante é sempre maior. Entretanto, ao adicionar qualquer conjunto (seja infinito ou finito) a um conjunto infinito (indicado pelo símbolo ¥), o conjunto resultante tem o mesmo tamanho que o maior conjunto. Então, onde 5 + 3 = 8, ¥ + 5 = ¥ e ¥ + ¥ = ¥. Ainda mais bizarro, a subtração não existe como função adequada quando se trabalha com conjuntos infinitos porque os resultados são indeterminados. Embora a subtração de um valor finito de um conjunto infinito resulte em um conjunto infinito, a subtração de dois conjuntos infinitos pode ser finita ou infinita. Da mesma forma, a multiplicação é bem definida para conjuntos infinitos, mas a divisão não. (Discutirei isso mais claramente em um blog posterior que considerará o hotel de Hilbert).

Infinitos e Deus

Quando percebi, pela primeira vez, essa característica incomum da aritmética infinita, meus pensamentos se voltaram para o adorado hino “Amazing Grace”. O primeiro verso descreve como a graça infinita de Deus salvou o desgraçado, mas foi um verso posterior que me chamou a atenção**:

    Quando estivermos lá por dez mil anos
    Brilhando como o sol
    Não teremos menos dias para cantar louvores a Deus
    Do que quando começamos
 

Sempre me perguntei como conciliar o fato de que 10.000 anos se passaram, mas ainda temos o mesmo número de dias restantes para cantar louvores a Deus. Entender como a adição de conjuntos infinitos funciona resolveu minha dificuldade. Se eu tenho um número infinito (ou sem fim) de dias para cantar louvores a Deus, então adicionar 10.000 anos (ou 3.650.000 dias) a esse número infinito não muda o número de dias.

 
Qualquer coisa finita sempre permanecerá finita e qualquer coisa infinita permanecerá para sempre infinita. Nada cresce de finito para se tornar infinito. Nada infinito pode ser dividido em um número finito de conjuntos, cada um com um número finito de elementos. Qualquer conjunto infinito sempre incluirá um subconjunto infinito ou um número infinito de subconjuntos. Este conjunto de informações sobre finitos e infinitos fornece uma base para abordar o paradoxo de Zenão, discutir se existem infinitos reais e se Deus pode ser infinito, e toda uma lista de outros tópicos fascinantes relacionados aos infinitos. Desenvolverei esses tópicos em postagens futuras, mas por enquanto uma compreensão básica do infinito nos ajuda a considerar o que significa que o Deus da Bíblia não tem começo nem fim e nunca houve um tempo em que ele não existisse.

** N. do R. T.: O trecho aqui é a tradução do texto em inglês postado no artigo original. Não foi consultada a versão da letra de Amazing Grace em português.

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Traduzido de Understanding Infinity and Its Theological Implications (RTB)

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Deus e o infinito - teologia cristã